Pythonで株価のボラティリティを予測する - GARCHモデル入門

りく

はじめに

株価の**ボラティリティ（変動性）**は、リスク管理やオプション価格の決定に重要です。

「ボラティリティは常に変化する」という特徴を捉えるために、GARCHモデルが広く使われています。

この記事では、GARCHモデルの基礎とPython実装を解説します。

GARCHモデルとは？

ボラティリティの特徴

株価のボラティリティには以下の特徴があります：

  1. クラスタリング: 高いボラティリティの後に高いボラティリティが続きやすい
  2. 平均回帰: 長期的には平均レベルに戻る
  3. レバレッジ効果: 下落時の方がボラティリティが上がりやすい

GARCH(1,1)モデル

GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）モデルは、 条件付き分散（ボラティリティ）を以下の式でモデル化します：

$$\sigma_t^2 = \omega + \alpha r_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2$$

ここで：

  • $\sigma_t^2$ = 時点$t$での条件付き分散
  • $\omega$ = 定数項
  • $\alpha$ = ARCH項の係数（前日のリターンの影響）
  • $\beta$ = GARCH項の係数（前日のボラティリティの影響）
  • $r_{t-1}$ = 前日のリターン

制約条件:

  • $\omega > 0$
  • $\alpha \geq 0, \beta \geq 0$
  • $\alpha + \beta < 1$（安定性条件）

Pythonでの実装

ライブラリのインストール

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pip install arch yfinance pandas numpy matplotlib

Step 1: データ取得と前処理

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import yfinance as yf
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from arch import arch_model

# S&P500のデータを取得
ticker = "^GSPC"
data = yf.download(ticker, start="2020-01-01", end="2024-12-31")['Close']

# 日次リターンを計算
returns = 100 * data.pct_change().dropna()  # パーセンテージ表記

print(f"データ期間: {returns.index[0]} ～ {returns.index[-1]}")
print(f"観測数: {len(returns)}")
print(f"平均リターン: {returns.mean():.4f}%")
print(f"リターンの標準偏差: {returns.std():.4f}%")

Step 2: リターンの可視化

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fig, axes = plt.subplots(2, 1, figsize=(12, 8))

# 株価
axes[0].plot(data.index, data, label='S&P 500')
axes[0].set_title('S&P 500 Index')
axes[0].set_ylabel('Price')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# リターン
axes[1].plot(returns.index, returns, label='Daily Returns', alpha=0.7)
axes[1].axhline(y=0, color='red', linestyle='--', alpha=0.5)
axes[1].set_title('Daily Returns (%)')
axes[1].set_ylabel('Return (%)')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('returns_analysis.png', dpi=150)
plt.show()

Step 3: GARCH(1,1)モデルの推定

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# GARCH(1,1)モデルを構築
model = arch_model(returns, vol='Garch', p=1, q=1, dist='normal')

# モデルをフィット
result = model.fit(update_freq=5)

print(result.summary())

Step 4: 結果の解釈

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# 推定されたパラメータ
params = result.params
omega = params['omega']
alpha = params['alpha[1]']
beta = params['beta[1]']

print(f"\n=== 推定パラメータ ===")
print(f"ω (定数項): {omega:.6f}")
print(f"α (ARCH項): {alpha:.4f}")
print(f"β (GARCH項): {beta:.4f}")
print(f"α + β (持続性): {alpha + beta:.4f}")
print(f"長期分散: {omega / (1 - alpha - beta):.4f}")

# 持続性の解釈
persistence = alpha + beta
if persistence > 0.95:
    print("\n高い持続性: ショックは長期間影響を残します")
elif persistence > 0.9:
    print("\n中程度の持続性: ショックは中期的に影響を残します")
else:
    print("\n低い持続性: ショックは短期間で消散します")

Step 5: 条件付きボラティリティの可視化

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# 条件付きボラティリティを取得
conditional_volatility = result.conditional_volatility

fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 6))

ax.plot(returns.index, conditional_volatility, label='Conditional Volatility', color='red')
ax.set_ylabel('Volatility (%)')
ax.set_xlabel('Date')
ax.set_title('GARCH(1,1) Estimated Volatility')
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)

# ボラティリティが高かった時期を強調
high_vol_periods = conditional_volatility[conditional_volatility > conditional_volatility.quantile(0.95)]
ax.scatter(high_vol_periods.index, high_vol_periods.values, color='orange', s=20, zorder=5)

plt.tight_layout()
plt.savefig('garch_volatility.png', dpi=150)
plt.show()

Step 6: ボラティリティの予測

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# 将来のボラティリティを予測
forecast = result.forecast(horizon=30)

# 予測された分散
forecast_variance = forecast.variance.values[-1, :]
forecast_volatility = np.sqrt(forecast_variance)

# 予測期間の日付を生成
last_date = returns.index[-1]
forecast_dates = pd.date_range(start=last_date, periods=31, freq='B')[1:]

# プロット
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 6))

# 過去のボラティリティ
ax.plot(returns.index[-60:], conditional_volatility[-60:], 
       label='Historical Volatility', color='blue')

# 予測ボラティリティ
ax.plot(forecast_dates, forecast_volatility, 
       label='Forecasted Volatility', color='red', linestyle='--')

# 信頼区間（仮に±2標準偏差）
ax.fill_between(forecast_dates, 
               forecast_volatility * 0.8, 
               forecast_volatility * 1.2,
               alpha=0.2, color='red', label='Confidence Interval')

ax.set_ylabel('Volatility (%)')
ax.set_xlabel('Date')
ax.set_title('Volatility Forecast (Next 30 Days)')
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('volatility_forecast.png', dpi=150)
plt.show()

print(f"\n=== 30日先のボラティリティ予測 ===")
print(f"現在のボラティリティ: {conditional_volatility.iloc[-1]:.2f}%")
print(f"30日後の予測: {forecast_volatility[-1]:.2f}%")

モデルの診断

残差の検定

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# 標準化残差
std_residuals = result.resid / conditional_volatility

# 残差の自己相関を検定
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox

ljung_box = acorr_ljungbox(std_residuals**2, lags=10, return_df=True)
print("\n=== 残差のLjung-Box検定（ボラティリティの残差）===")
print(ljung_box)

# p値が0.05以上なら、残差に自己相関なし（モデルは適切）

他のモデルとの比較

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# EGARCHモデル（非対称性を考慮）
egarch_model = arch_model(returns, vol='EGarch', p=1, q=1)
egarch_result = egarch_model.fit(disp='off')

# モデル比較
print("\n=== モデル比較 ===")
print(f"GARCH(1,1) AIC: {result.aic:.2f}")
print(f"EGARCH(1,1) AIC: {egarch_result.aic:.2f}")

if result.aic < egarch_result.aic:
    print("GARCH(1,1)がより良いフィット")
else:
    print("EGARCH(1,1)がより良いフィット（レバレッジ効果あり）")

よくあるエラーと解決法

エラー1: “ConvergenceWarning”

原因: モデルが収束しない

解決法:

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# 初期値を変更して再試行
result = model.fit(update_freq=5, starting_values=None)

エラー2: データにNaNがある

解決法:

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returns = returns.dropna()

まとめ

この記事では、GARCHモデルを使ったボラティリティ予測を学びました。

キーポイント:

  1. GARCHモデルはボラティリティのクラスタリングを捉えられる
  2. GARCH(1,1)はパラメータが少なく、実務で広く使われる
  3. α+βが高いほどショックの持続性が高い
  4. 予測は短期的なものに限定すべき

応用例:

  • オプション価格の計算（インプライド・ボラティリティの代替）
  • VaR（Value at Risk）の計算
  • ポジションサイジングの決定

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参考リンク: